Consider the set of all reduced fractions between 0 and 1 inclusive with denominators less than or equal to N.

Here is the set when N = 5: :

0/1 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1/1

Write a program that, given an integer N between 1 and 160 inclusive, prints the fractions in order of increasing magnitude.

## PROGRAM NAME: frac1

## INPUT FORMAT

One line with a single integer N.

## OUTPUT FORMAT

One fraction per line, sorted in order of magnitude.

## SOLUTION

这是一道很好过的题目。我的方法是穷举所有可能的分数，然后排序后输出。就这种最直观最笨的方法也不会超时。代码很好写，这里就略去了。

下面是我在usaco的官方Analysis上看到的解法，它利用递归直接生成分数并输出，没有互质数判断，没有排序。真是非常漂亮——虽然其中数学原理我还是有点搞不懂。比如：它怎么保证每次得到的分数分子分母都互质的？两个分数分子分母分别相加的到的分数，为什么它的值一定介于两者之间？希望能有达人仔细解释。

下面是我翻译自usaco的：

下面是来自Russ的超快解法：

我们发现可以把0/1和1/1分别作为起点和终点，然后通过增大分子和分母来递归地生成中间的点。

0/1 1/1 1/2 1/3 2/3 1/4 2/5 3/5 3/4 1/5 2/7 3/8 3/7 4/7 5/8 5/7 4/5每个分数都是由它左边和右边的分数生成的。这种想法有助于在递归过深时跳出。

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #include <assert.h> int n; FILE *fout; /* 打印在n1/d1和n2/d2之间且分母小于等于n的分数*/ void genfrac(int n1, int d1, int n2, int d2) { if(d1+d2 > n) /*跳出递归*/ return; genfrac(n1,d1, n1+n2,d1+d2); fprintf(fout, "%d/%d\n ...