描述

设r是个2^k 进制数,并满足以下条件:

(1)r至少是个2位的2^k进制数。

(2)作为2^k进制数,除最后一位外,r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。

(3)将r转换为2进制数q后,则q的总位数不超过w。

在这里,正整数k(1<=k<=9)和w(k<w<=30000)是事先给定的。

问:满足上述条件的不同的r共有多少个?

我们再从另一角度作些解释:设S是长度为w 的01字符串(即字符串S由w个“0”或“1”组成),S对应于上述条件(3)中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段,每段对应一位2k进制的数,如果S至少可分成2段,则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2k 进制数r。

例:设k=3,w=7。则r是个八进制数(23=8)。由于w=7,长度为7的01字符串按3位一段分,可分为3段(即1,3,3,左边第一段只有一个二进制位),则满足条件的八进制数有:

2位数:高位为1:6个(即12,13,14,15,16,17),高位为2:5个,…,高位为6:1个(即67)。共6+5+…+1=21个。

3位数:高位只能是1,第2位为2:5个(即123,124,125,126,127),第2位为3:4个,…,第2位为6:1个(即167)。共5+4+…+1=15个。

所以,满足要求的r共有36个。

输入格式

输入只有1行,为两个正整数,用一个空格隔开:k W

输出格式

输出为1行,是一个正整数,为所求的计算结果,即满足条件的不同的r的个数(用十进制数表示),要求最高位不得为0,各数字之间不得插入数字以外的其他字符(例如空格、换行符、逗号等)。

(提示:作为结果的正整数可能很大,但不会超过200位)

题解

想起去年NOIP做到这题时,我还是巨巨巨巨巨巨巨菜,看了这题的标题就直接放弃了……现在看来这题也不是那么难的。

题目中“从另一角度作些解释”是很重要的,这几乎直接给我们提供了算法(往下看之前请仔细阅读题目中的相关部分)。令N为2^k进制数的最大允许位数,(a_0) 为最高位允许的最大值,则有:

\begin{equation*} N= \left\lceil \frac{W}{K} \right\rceil \end{equation*}
\begin{equation*} a_0=2^{W \mod K}-1 \end{equation*}

那么问题其实就等同于:取N个数(对应于\(2^k\)进制数中的N位),第1个数num[1](对应于最高位)取值范围为[1,a0],其余第2~N个数num[i]取值范围都为[1,2^K)。现从其中第i(1<=i<N-1)个数num[i]开始取数,一直取到最后一个数 num[N],要求对于任意的 j>i 满足 num[j-1]<num[j]。问取数方案的总数。这就是很基础的组合数学问题了。

先不考虑第1个数,因为限制一个最大值会稍微麻烦一点 ...