Consider the set of all reduced fractions between 0 and 1 inclusive with denominators less than or equal to N.

Here is the set when N = 5: :

0/1 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1/1

Write a program that, given an integer N between 1 and 160 inclusive, prints the fractions in order of increasing magnitude.

PROGRAM NAME: frac1

INPUT FORMAT

One line with a single integer N.

OUTPUT FORMAT

One fraction per line, sorted in order of magnitude.

SOLUTION

这是一道很好过的题目。我的方法是穷举所有可能的分数,然后排序后输出。就这种最直观最笨的方法也不会超时。代码很好写,这里就略去了。

下面是我在usaco的官方Analysis上看到的解法,它利用递归直接生成分数并输出,没有互质数判断,没有排序。真是非常漂亮——虽然其中数学原理我还是有点搞不懂。比如:它怎么保证每次得到的分数分子分母都互质的?两个分数分子分母分别相加的到的分数,为什么它的值一定介于两者之间?希望能有达人仔细解释。

下面是我翻译自usaco的:

下面是来自Russ的超快解法:

我们发现可以把0/1和1/1分别作为起点和终点,然后通过增大分子和分母来递归地生成中间的点。

0/1                                                             1/1
                                1/2
                  1/3                       2/3
        1/4              2/5          3/5              3/4
    1/5      2/7     3/8    3/7    4/7   5/8     5/7        4/5

每个分数都是由它左边和右边的分数生成的。这种想法有助于在递归过深时跳出。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <assert.h>

int n;
FILE *fout;

/* 打印在n1/d1和n2/d2之间且分母小于等于n的分数*/
void
genfrac(int n1, int d1, int n2, int d2)
{
  if(d1+d2 > n)  /*跳出递归*/
  return;

  genfrac(n1,d1, n1+n2,d1+d2);
  fprintf(fout, "%d/%d\n", n1+n2, d1+d2);
  genfrac(n1+n2,d1+d2, n2,d2);
}

void
main(void)
{
  FILE *fin;

  fin = fopen("frac1.in", "r");
  fout = fopen("frac1.out", "w");
  assert(fin != NULL && fout != NULL);

  fscanf(fin, "%d", &n);

  fprintf(fout, "0/1\n");
  genfrac(0,1, 1,1);
  fprintf(fout, "1/1\n");
}

Update: 据查,这个解法利用了法里数列及其相关性质。详见:资料1 资料2